Ο Κώστας Αποστολάκης είναι σύμφωνα με την εφημερίδα "Ελευθερία" η πρώτη μεταγραφή της ΠΑΕ ΑΕΛ, που κάτω από άκρα μυστικότητα έκανε προπόνηση για δύο μήνες με τη λαρισινή ομάδα και χωρίς να διαρρεύσει κάτι προς τα έξω, δείγμα της σωστής λειτουργίας των αποδυτηρίων.
Ο Κώστας Αποστολάκης, που είναι δεξί μπακ, έχει παίξει στο Τσάμπιονς Λιγκ με την πρωταθλήτρια Μολδαβίας Σέριφ (4 παιχνίδια), ενώ γνωρίζει καλά το Ελληνικό Πρωτάθλημα, κυρίως από τη διετή θητεία του στον Παναιτωλικό.
Είναι γιος του παλαίμαχου διεθνή παίκτη του Παναθηναϊκού και του Ολυμπιακού Στράτου Αποστολάκη, γεννήθηκε στην Αθήνα στις 28 Μαΐου 1999 (σε λίγες μέρες έχει τα γενέθλιά του) κι έκανε τα πρώτα ποδοσφαιρικά του βήματα στη Νίκη Αλίμου. Στη συνέχεια, εντάχθηκε στις ακαδημίες του Παναθηναϊκού το καλοκαίρι του 2014 αγωνιζόμενος στα χαφ, κυρίως ως αμυντικός μέσος. Τον Μάρτιο του 2018 ο τότε προπονητής του Παναθηναϊκού και πρώην της ΑΕΛ Μαρίνος Ουζουνίδης άρχισε να τον καλεί στις προπονήσεις της πρώτης ομάδας προκειμένου να τον αξιολογήσει.
Στις 13 Ιουνίου του 2017 υπέγραψε επαγγελματικό συμβόλαιο μαζί με άλλους 6 παίκτες της ακαδημίας. Στην πρώτη ομάδα του Παναθηναϊκού παίζει στο δεξιό άκρο της άμυνας. Το επίσημο ντεμπούτο του με την πρώτη ομάδα του Παναθηναϊκού πραγματοποιήθηκε στην εκτός έδρας αναμέτρηση με τον Παναιτωλικό για το Κύπελλο Ελλάδος που έληξε 0-1 για τους πράσινους, δίνοντας την ασίστ στον σκόρερ του αγώνα Φεντερίκο Μακέντα.